苏小草：‘四色定理’证明

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苏小草：‘四色定理’证明


定理一：在球面或平面上，任意两个不同的点A、B之间，均可互联出一条曲（直）线段。记作：AB。

定理二：在球面或平面上，任意三个不同的点A、B、C之间，均可两两互联出三条除可能的端点外，不存在其它交汇点的曲（直）线段。分别记作：AB、BC、AC。

定理三：在球面或平面上，任意四个不同的点A、B、C、D之间，均可两两互联出六条除可能的端点外，不存在其它交汇点的曲（直）线段。分别记作：AB、BC、CD、AC、AD、BD。

定理四：在球面或平面上，任何五个不同的点A、B、C、D、E之间，均不可两两互联出十条除可能的端点外，不存在其它交汇点的曲（直）线段。

例：若AB、BC、CD、DE、EA、EB、EC、AD、AC之间并AB、BC、CD、DE、EA、EB、EC、AD、BD之间除可能端点外，不存在其它交汇点，AC与BD之间必存在其它交汇点。作图可知，（略）。

以点画面，类比推理。

推论（一）：在球面或平面上，任意两个相离的有限区域之间，均可两两互联出一条曲（直）线段。记作：AB。A、B分别是游动在这两个有限区域边线阈限上的点，其点集分别记作：{A}、{B}。

推理应用：由于A、B两点分别游动在两个相离有限区域边线阈限上，我们可以将其连线‘AB’看作是一组线段的集群。当这两个有限区域的边线沿着连线相向不断扩展至相切时，A、B两点重合，点集{A}、{B}随之转化成此两扩大有限区域相接的公共边界。可记作：AB。因此，地图上可能存在彼此具有公共边界的两个相邻接区域。

推论（二）：在球面或平面上，任意三个相离的有限区域之间，均可两两互联出三条除可能的端点外，不存在其它交汇点的曲（直）线段。记作：AB、BC、AC。A、B、C分别是游动在这三个有限区域边线阈限上的点，其点集分别记作：{A}、{B}、{C}。

推理应用：由于A、B、C三点分别游动在三个相离有限区域边线阈限上，我们可以将其连线‘AB’、‘BC’、‘AC’分别看作是一组线段的集群。当这三个有限区域的边线两两分别沿着连线相向不断扩展至相切时，A与B、B与C、A与C各点分别重合，点集{A}、{B}、{C}随之转化成此三个扩大有限区域相接的公共边界。因此，地图上可能存在彼此均具有公共边界的三个相邻接区域。

推论（三）：在球面或平面上，任意四个相离的有限区域之间，均可两两互联出六条除可能的端点外，不存在其它交汇点的曲（直）线段。记作：AB、BC、CD、AC、AD、BD。A、B、C、D分别是游动在这四个有限区域边线阈限上的点，其点集分别记作：{A}、{B}、{C}、{D}。推理应用：同上。因此，地图上可能存在彼此均具有公共边界的四个相邻接区域。

推论（四）：在球面或平面上，任何五个相离的有限区域之间，均不可两两互联出十条除可能的端点外，不存在其它交汇点的曲（直）线段。也就是说，各连线中，一定存在两条除可能的端点外，存在其它交汇点的曲（直）线段。方便起见，可以记作：AC、BD。A、B、C、D分别是游动在这四个有限区域边线阈限上的点，其点集分别记作：{A}、{B}、{C}、{D}。

推理应用：由于A、B、C、D四点分别游动在四个相离有限区域边线阈限上，我们可以把‘AC’、‘BD’分别看作是一组线段的集群。当相关有限区域的边线两两分别沿着连线相向不断扩展至相切时，A与C、B与D四点分别重合。由于AC、BD之间存在交汇点，A、B、C、D四点必重合于一点。此时，出现四面对角相夹，A、B、C、D四点失去阈限游动性，相关扩展有限区域无法对应形成两条相接的公共边界。因此，地图上不存在彼此均具有公共边界的五个相邻接区域。


以上证明的是地图上为何不存在彼此均具有公共边界的五个相邻接区域，简单说，在平面或曲面上，除可能的端点外，不存在彼此连线（或直线或曲线）均不存在交汇点的五个不同的点；在平面或曲面上，除可能的端点外，不存在彼此连线（或直线或曲线）均不存在交汇点的五个不同的有限区域；在平面或曲面上，不存在彼此均具有公共边界的五个相邻接区域。


通常而言，‘四色定理’是指，每个地图都可以用不多于四种颜色涂色，且两个相邻接的有限区域颜色不同。‘两个相邻接的有限区域’是指，它们之间存在一段公共边界，而不仅仅是公共交点。

依据以上概念，在球面或平面上，我们可以把涂有相同颜色的有限区域称之为同色图群；把涂有相异颜色的有限区域称之为异色图群。显而易见，（1）属于同色图群的两个有限区域一定是相离的或仅存在交点；（2）存在公共边界的两个有限区域一定属于异色图群。

一、在球面或平面上，任选一个有限区域作中心，记作：A1。依据（1）的界定，以A1起始，由近及远，同色饱和拓展，遴选出同色图群A，并涂A色，A={A1  A2  A3······An}。该图群中，每一个有限区域都与其它区域或仅存在交点或相离，但，不存在公共边界。由（2）可知，剩下的图群中，每一个有限区域都与图群A中的一个或多个区域存在公共边界。

二、在剩下的图群中，任选一个有限区域作中心，记作：B1。同理，以B1起始，由近及远，同色饱和拓展，遴选出同色图群B，并涂B色，B={B1  B2  B3······Bn}。该图群中，每一个有限区域都与其它区域或仅存在交点或相离，但，不存在公共边界。剩下的图群中，每一个有限区域都与图群A和B中的一个或多个区域分别存在公共边界。

三、同上，在剩下的图群中，遴选出同色图群C，并涂C色，C={C1  C2  C3······Cn}。该图群中，每一个有限区域都与其它区域或仅存在交点或相离，但，不存在公共边界。剩下的图群中，每一个有限区域都与图群A、B和C中的一个或多个区域分别存在公共边界。

四、同理，在剩下的图群中，遴选出同色图群D，并涂D色，D={D1  D2  D3······Dn}。该图群中，每一个有限区域都与其它区域或仅存在交点或相离，但，不存在公共边界。‘剩下的图群’中，每一个有限区域都与图群A、B、C和D中的一个或多个区域分别存在公共边界。

五、理论上，‘剩下的图群’处于A、B、C、D四色图群的包围之中，其每一个有限区域均与图群A、B、C和D中的一个或多个区域分别存在公共边界，也即是说，它们共同构成一个‘五色图群’。

大道至简，正所谓：‘数往者顺，知来者逆，是故易，逆数也。’反向推理出现两种具体情况。其一，‘剩下的图群’中的若干有限区域均与图群A、B、C和D中的一个或多个区域构成若干个‘五色图群’，而且前者处于后者的全包围或半包围之中。由于这种图群无须五色，只要四种颜色涂色即可完成，故而，可以说，这种‘剩下的图群’不存在。其二，‘剩下的图群’中的若干有限区域分别与图群A、B、C和D中的一个区域构成若干个‘五色图群’，且形成彼此均具有公共边界的‘五个相邻接区域’。根据推论（四）之推理应用可知，地图上不存在彼此均具有公共边界的五个相邻接区域。故而，这种情况亦不存在。也就是说，正确应用以上程序，至多涂四色即满图，不再有‘剩下的图群’了。

因此，每个地图都可以用不多于四种颜色涂色，且两个相邻接的有限区域颜色不同，‘四色定理’成立。注：具体到某些特别地图的涂色，‘一线飞地’或‘无线飞地’的情况，前者可当作仅存在公共交点之区域论，后者可当作相离之区域论。