苏小草：数论之距差总量分析及其应用

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苏小草：数论之距差总量分析及其应用


    一、我们已经知道，在上述距差简表中，所列出的距差并非多周期原偶数完全的距差数集，对于特定的原偶数而言，其距差总量是固定的、独有且可求的。为实现特定多周期原偶数距差总量的可求性，我们可以对其距差总量具体分析，并归纳出算列式。

    第一种情况：第一周期原偶数的距差总量，它已经通过统计得出，即，D={d}数集表，不作赘述。

    第二种情况：多周期(T>1)原偶数的距差总量，下面，我们讨论这种情况存在的一般形式。

    设原偶数为N=210(T-1)+X ‘X’为第一周期内的偶数位数，其距差数集：D={d}
    当T=2时，N=210+X        原偶数N的距差数集：CN={c}U{210+d}
    当T=3时，N=210x2+X      原偶数N的距差数集：CN={c}U{210+c}U{210x2+d}
    当T=4时，N=210x3+X      原偶数N的距差数集：
                            CN={c}U{210+c}U{210x2+c}U{210x3+d}
    ······      
    当T=T时，N=210(T-1)+X   原偶数N的距差数集：
    CN={c}U{210+c}U{210x2+c}U······U{210(T-3)+c}U{210(T-2)+c}U{210x(T-1)+d}
  
    当T=1时，上述表达式可以转换成DN={d}，因此，我们可以认为上述表达式是原偶数距差总集的一般表达式。只所以称其为一般表达式，因具体应用中尚有一些具体情况，需要灵活处理。具体情况如下：

    1、第一周期的数位数2、3、5、7属于素位数，但其多周期的同位数均不属于素位数。当D={d}、C={c}数集中，有3、5、7三个素数时，升级(加210的倍数)过程中，除去这三个数。因这三个数加210的倍数所得到的数是能被3、5、7整除的多周期合数，不属于素位数，即不属于距差数集。也就是说，在D={d}、C={c}数集中，原级可含有3、5、7三个素位数，升级过程中，舍去这三个数就可避免距差数集中出现不属于素位数的合数，或曰：原级计入、升级退出。

    2、在C={c}数集中，原偶数是212、214、216三数时，距差数集中出现的‘209’只有在{210(T-2)+c}项中计入，其它项中舍去。也就是说，当原偶数第二周期的数位数是212、214、216三数时，‘209’计入其距差数集表达式中的倒数第二项的数集，其它项不计入。原因在于，212-3=209  214-5=209  216-7=209  这种情况下，除{210(T-2)+c}项中的‘210(T-2)+209’对应的3、5、7三数是素位数，其它情况，均为3、5、7分别加210的倍数，非素位数。
   
    从上述归纳出的距差数集表达式，我们可以知道，已知原偶数第一、第二周期的D={d}、C={c}数集，求原偶数‘N=210(T-1)+X’的距差总集有以下步骤：

    第一步，求出原偶数的周期数‘T’值，原偶数N/210=T-1······X。
    第二步，求出原偶数第一、第二周期对应的数位数X和Y值：Y=210+X。
    第三步，根据数位数X和Y，在D={d}、C={c}数集表中，查出其对应的距差数集。
    第四步，根据T值，写出原偶数的距差总集的T项表达式，结合D={d}、C={c}数集代入表达式的注意事项，计算出该原偶数的距差总集。下面举例说明。
   
    二、原偶数‘N=210(T-1)+X’的距差数集及素数对

    例一：求原偶数‘578’的距差数集及素数对

    1、原偶数N=578    578/210=2······158
       T-1=2   T=3    X=158     Y=210+158=368

    2、原偶数‘578’的距差数集表达式：C578={c}U{210+c}U{210x2+d}

    3、在D={d}、C={c}数集表中，分别查出‘D158’、‘C368’对应的数集：
       D158={1 7 19 31 37 61 79 97 121 127 139 151 157}
       C368={1 7 19 31 37 61 79 97 121 127 139 157 169 181 187 199}

    4、按照3、5、7‘原级计入、升级退出’原则，将上述数集代入原偶数‘578’的距差数集表达式：
       C578={c}U{210+c}U{210x2+d}   
       C578={1 7 19 31 37 61 79 97 121 127 139 157 169 181 187 199}U{210+（1 19 31 37 61 79 97 121 127 139 157 169 181 187 199）}U{210x2+（1 19 31 37 61 79 97 121 127 139 151 157）}

       运算可得原偶数‘578’的距差数集：
       C578={1 7 19 31 37 61 79 97 121 127 139 157 169 181 187 199 211 229 241 247 271 289 307 331 337 349 367 379 391 397 409 421 439 451 457 481 499 517 541 547 559 571 577}

       可见，该原偶数的距差数集共有43个自然数组成，其首尾聚中两数相加的和均为原偶数‘578’，中位数‘289’的两倍：289x2=578。

    5、该原偶数的距差数集中，121、169、187、221、247、289、391 451、481 、517、559，共十一数为合数，将这些合数和与之互补对应的数及首尾数一并除去，就可得到该原偶数的所有素数对。
       578=7+571=31+547=37+541=79+499=139+439=157+421
          =181+397=199+379=211+367=229+349=241+337=271+307
      
    例二：求原偶数‘426’的距差数集及素数对

    1、原偶数N=426    426/210=2······6
       T-1=2   T=3    X=6     Y=210+6=216

    2、原偶数‘426’的距差数集表达式：C426={c}U{210+c}U{210x2+d}

    3、在D={d}、C={c}数集表中，分别查出‘D6’、‘C216’对应的数集：
       D6={1 3 5}
       C216={5 7 17 19 23 29 37 43 47 53 59 67 73 79 89 103 107 109 113 127 137 143 149 157 163 169 173 179 187 193 197 199 (209)}

    4、按照3、5、7‘原级计入、升级退出’原则和C={c}数集中，原偶数的Y值出现212、214、216三数时，距差数集中出现的‘209’，只在{210(T-2)+c}项中计入，其它项中舍去的要求，将上述数集代入原偶数‘426’的距差数集表达式：C426={c}U{210+c}U{210x2+d}
   
       C426={5 7 17 19 23 29 37 43 47 53 59 67 73 79 89 103 107 109 113 127 137 143 149 157 163 169 173 179 187 193 197 199}U{210+（17 19 23 29 37 43 47 53 59 67 73 79 89 103 107 109 113 127 137 143 149 157 163 169 173 179 187 193 197 199 209}U{210x2+1}

       运算可得原偶数‘426’的距差数集：
       C426={5 7 17 19 23 29 37 43 47 53 59 67 73 79 89 103 107 109 113 127 137 143 149 157 163 169 173 179 187 193 197 199 227 229 233 239 247 253 257 263 269 277 283 289 299 313 317 319 323 337 347 353 359 367 373 379 383 389 397 403 407 409 419 421}
       可见，该原偶数的距差数集共有64个自然数组成，其首尾聚中两数相加的和均为原偶数‘426’。

    5、该原偶数的距差数集中，143、169、187、247、253、289、299、319、323、403、407，共十一数为合数，将这些合数和与之互补对应的数一并除去，就可得到该原偶数的所有素数对。

       426=5+421=7+419=17+409=29+397=37+389=43+383=47+379=53+373
          =59+367=67+359=73+353=79+347=89+337=109+317=113+313
          =149+277=157+269=163+263=193+233=197+229=199+227

   例三：求原偶数‘422’的距差数集及素数对

    1、原偶数N=422    422/210=2······2
       T-1=2   T=3    X=2     Y=210+2=212

    2、原偶数‘422’的距差数集表达式：C422={c}U{210+c}U{210x2+d}

    3、在D={d}、C={c}数集表中，分别查出‘D2’、‘C212’对应的数集：
       D2={1}
       C212={1 3 13 19 31 43 61 73 103 109 139 151 169 181 193 199 (209)}

    4、按照3、5、7‘原级计入、升级退出’原则和C={c}数集中，原偶数的Y值出现212、214、216三数时，距差数集中出现的‘209’，只在{210(T-2)+c}项中计入，其它项中舍去的要求，将上述数集代入原偶数‘422’的距差数集表达式：C422={c}U{210+c}U{210x2+d}

       C422={1 3 13 19 31 43 61 73 103 109 139 151 169 181 193 199 }U{210+(1 13 19 31 43 61 73 103 109 139 151 169 181 193 199 209}U{210x2+1}
     
       运算可得原偶数‘426’的距差数集：
       C422={1 3 13 19 31 43 61 73 103 109 139 151 169 181 193 199 211 223 229 241 253 271 283 313 319 349 361 379 391 403 409 419 421}
       可见，该原偶数的距差数集共有33个自然数组成，其首尾聚中两数相加的和均为原偶数‘422’。

    5、该原偶数的距差数集中，169、253、319、361、391、403，共六数为合数，将这些合数和与之互补对应的数及首尾数一并除去，就可得到该原偶数的所有素数对。
   422=3+419=13+409=43+379=73+349=109+313=139+283=151+271=181+241
      =193+229=199+223=211+211

    通过以上例证，我们知道了如何求解任意原偶数的距差数集及其素数对，这就为哥德巴赫猜想(偶数形式)的证明寻求到了完整的逻辑依据。