苏小草：数论之解密素数

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     苏小草：数论之解密素数


     按：这里不只是能提供一种寻找和判定素数的简易途径和方法，还能给出任意大的合数分解成素数积的简易途径和方法。


   根据自然数的‘五行六爻属性’，我们可以把不小于1的自然数分成六列数，即阳奇阳性数列{6n-5}、阴偶中性数列{6n-4}、阳奇阴性数列{6n-3}、阴偶阳性数列{6n-2}、阳奇中性数列{6n-1}、阴偶阴性数列{6n}，共六列数。n是不小于1的自然数。

    例：6n-5   6n-4    6n-3   6n-2   6n-1    6n
             1        2        3        4        5        6
             7        8        9       10      11      12
           13      14       15      16      17      18
           19      20       21      22      23      24
           25      26       27      28      29      30
            ·         ·         ·         ·        ·         ·
            ·         ·         ·         ·        ·         ·
            ·         ·         ·         ·        ·         ·

    我们可以发现，第二列数均可被2整除，除‘2’之外，均为合数；第三列数均可被3整除，除‘3’之外，均为合数；第四列、第六列数均为合数，不存在素数。那么，除第二列数的‘2’和第三列数的‘3’，其它素数均存在于第一、五列数之中。也就是说，除去第一列数的‘1’不是素数外，我们把第一、五列数中的合数剔除，剩余的自然数均为素数。下面我们对第一列数与第五列数进行分析：

    1、设第一列数‘6n-5’（n>1）是合数，那么，该数一定是除‘1’之外的第一列数或第五列数中的数相乘（包括自乘）而得。

    设第一列中的两数分别为6a-5或6b-5， a、b均属于大于1的正整数。 那么，(6a-5)(6b-5)=6[6ab-5（a+b）+5]-5。 ‘6ab-5（a+b）+5’属于正整数，故，(6a-5)(6b-5)=6n-5，属于第一列数。

    设第五列中的两数分别为6a-1或6b-1， a、b均属于不小于1的正整数。那么，（6a-1)(6b-1)=6[6ab-（a+b）+1]-5。 ‘6ab-（5b+a）+1’属于正整数，故，（6a-1)(6b-1)=6n-5，属于第一列数。

    2、设第五列中数‘6n-1’(n>0)是合数，那么，该数一定是除‘1’以外的第一列数与第五列数中的数相乘而得。

    设第一列与第五列中的两数分别为6a-5和6b-1， a>1、b>0，a、b均属于正整数。那么，(6a-5)(6a-1)=6[6ab-（5b+a）+1]-1。 ‘6ab-（5b+a）+1’属于正整数，故，(6a-5)(6a-1)=6n-1，属于第五列数。

    反向推理同样如此，不作赘述。即在N行六列自然数（大于0）的数阵中，除第二列的‘2’、第三列的‘3’之外，其它素数均存在于第一列与第五列数之中，除去第一列数的‘1’，第一列数或第五列数相乘（包括自乘），得第一列数中的合数；第一列数与第五列数的乘积，得第五列数中的合数。也就是说，除去第一列与第五列中的上述合数及第一列中的首数‘1’，第一列与第五列中的其它数均为素数。

    经过缜密的逻辑推理，我们可以得出以下定理：

    1、除素数2、3之外，其它素数均居于自‘1’始的N行六列数阵的第一列数{6n-5}与第五列数{6n-1}之中。n是不小于1的正整数。

    2、自‘1’始的N行六列自然数阵中，第一列数{6n-5}里，能被5整除的数n=5k ；能被7整除的数n=7k-5 。第五列数{6n-1}里，能被5整的数n=5k-4；能被7整除的数n=7k-1。k属于不小于1的正整数。

    3、对于不能5或7整除的第一、五列数中的数，其质、合性的判定方法如下：

    一、对于不能被5或7整除的第一列数中的自然数‘N=6n-5’而言，其为素数的充要条件有两个:A和B，即必须满足A和B同时成立。

    A:函数n=6mt+m+t+1在m属于正整数[1、（N的平方根-1）/6]的实用闭区间内，除去m的不等值后，t值无正整数解。

    附：函数n=6mt+m+t+1，m的不等值如下（k>0、属于正整数）：
    m不等于4、9、14、19、24、29、34、39······5k-6、5k-1；  
    m不等于1、8、15、22、29、36、43、50······7k-13、7k-6。

    B:函数n=6mt-m-t+1在m属于正整数[1、（N的平方根+1）/6]的实用闭区间内，除去m的不等值后，t值无正整数解。

    附：函数n=6mt-m-t+1，m的不等值如下：
    m不等于1、6、11、16、21、26、31、36······5k-9、5k-4；
    m不等于6、13、20、27、34、41、48、55······7k-13、7k-1。

    二、对于不能被5或7整除的第一列数中的自然数‘N=6n-5’而言，其为合数的充要条件有一个：A或B，即满足其一则成立。

    A:函数n=6mt+m+t+1在m属于正整数[1、（N的平方根-1）/6]的实用闭区间内，除去m的不等值（见上）后，t值有正整数解。其因数分别为‘6m+1’和‘6t+1’。

    B:函数n=6m-m-t+1在m属于正整数[1、（N的平方根+1）/6]的实用闭区间内，除去m的不等值(见上)后，t值有正整数解。其因数分别为‘6m-1’和‘6t-1’。

    三、对于不能被5或7整除的第五列数中的自然数‘N=6n-1’而言，其为素数的充要条件有两个：A和B，即必须满足A和B同时成立。

    A:函数n=6mt+m-t在m属于正整数[1、n/6的平方根]的实用闭区间内，除去m的不等值后，t值无正整数解。

    附：函数n=6mt+m-t，m的不等值如下：
    m不等于1、6、11、16、21、26、31、36······5k-9、5k-4；
    m不等于6、13、20、27、34、41、48、55······7k-13、7k-1。

    B:函数n=6mt+m-t在t属于正整数[1、n/6的平方根]的实用闭区间内，除去t的不等值后，m值无正整数解。

    附：函数n=6mt+m-t，t的不等值如下：
    t不等于4、9、14、19、24、29、34、39······5k-6、5k-1；  
    t不等于1、8、15、22、29、36、43、50······7k-13、7k-6。

    四、对于不能被5或7整除的第五列数中的自然数‘N=6n-1’而言，其为合数的充要条件有一个：A或B，即满足其一则成立。

    A:函数n=6mt+m-t在m属于正整数[1、n/6的平方根]的实用闭区间内，除去m的不等值（见上）后，t值有正整数解。其因数分别为‘6m-1’和‘6t+1’。

    B:函数n=6mt+m-t在t属于正整数[1、n/6的平方根]的实用闭区间内，除去t的不等值后，m值有正整数解。其因数分别为‘6m-1’和‘6t+1’。

    事实上，寻找素数的方法非常简单，利用上述自然数的N行六列数阵，除第二列的素数‘2’、第三列的素数‘3’，其它素数均在除‘1’之外的第一列数与五列数全排列（包括自乘）的积数之外的第一、五列数之中。

  
    定理证明（一）

    1、除素数2、3之外，其它素数均居于自‘1’始的N行六列数阵的第一列数{6n-5}与第五列数{6n-1}之中。n是不小于1的自然数。

    2、自‘1’始的N行六列自然数阵中，第一列数{6n-5}里，能被5整除的数n=5k ；能被7整除的数n=7k-5 。第五列数{6n-1}里，能被5整除的数n=5k-4；能被7整除的数n=7k-1。k属于不小于1的正整数。

    根据自然数的‘五行六爻属性’，我们把不小于1的自然数分成六列数。如下：

  行     第一列数   第二列数   第三列数   第四列数   第五列数   第六列数     
         阳奇阳性   阴偶中性   阳奇阴性   阴偶阳性   阳奇中性   阴偶阴性
   1          1            2               3              4               5              6
   2          7            8               9            10              11            12
   3        13          14              15            16              17            18
   4        19          20              21            22              23            24
   5        25          26              27            28              29            30
   6        31          32              33            34              35            36
   7        37          38              39            40              41            42
   8        43          44              45            46              47            48
   9        49          50              51            52              53            54
  10       55          56              57            58              59            60
  11       61          62              63            64              65            66
    ·         ·            ·                ·               ·                 ·              ·
    ·         ·            ·                ·               ·                 ·              ·
    ·         ·            ·                ·               ·                 ·              ·
   n       6n-5       6n-4          6n-3          6n-2           6n-1          6n

    对于第二列的自然数集{6n-4}而言，6n-4/2=3n-2，正整数。故，该列中的数均可被2整除，除素数‘2’之外，均为合数。

    对于第三列的自然数集{6n-3}而言，6n-3/3=2n-1，正整数。故，该列中的数均可被3整除，除素数‘3’之外，均为合数。

    对于第四列的自然数集{6n-2}而言，6n-2/2=3n-1，正整数。故，该列中的数均可被2整除，均为合数，不存在素数。

    对于第六列的自然数集{6n}而言，6n=2x3n，显然，该列中的数均为合数，不存在素数。

    因此，除素数2、3之外，其它素数均居于自‘1’始的N行六列数阵的第一列数{6n-5}与第五列数{6n-1}之中。n是不小于1的正整数。

    我们对第一、五列数中能被5或7整除的数的行数‘n’进行分析：

    第一列数中，第一个能被5整除的数是‘25’，行数为5；第二个能被5整除的数是‘55’，行数为10；······第n个能被5整除的数是‘6x5k-5’，k属于正整数。因此，第一列自然数集{6n-5}中，能被5整除的数，其行数n=5k。
   
    第一列数中，第一个能被7整除的数是‘2’，行数为2；第二个能被7整除的数是‘49’，行数为9；······第n个能被7整除的数是‘6(7k-5)-5’，k属于正整数。因此，第一列自然数集{6n-5}中，能被7整除的数，其行数n=7k-5。

    第五列数中，第一个能被5整除的数是‘5’，行数为1；第二个能被5整除的数是‘35’，行数为6；······第n个能被5整除的数是‘6(5k-4)-1’，k属于正整数。因此，第五列自然数集{6n-1}中，能被5整除的数，其行数n=5k-4。
  
    第五列数中，第一个能被7整除的数是‘35’，行数为6；第二个能被7整除的数是‘77’，行数为13；······第n个能被7整除的数是‘6(7k-1)-1’，k属于正整数。因此，第五列自然数集{6n-5}中，能被7整除的数，其行数n=7k-1。

    故，自‘1’始的N行六列自然数阵中，第一列数‘6n-5’里，能被5整除的数n=5k ；能被7整除的数n=7k-5 。第五列数‘6n-1'里，能被5整的数n=5k-4；能被7整除的数n=7k-1。k均属于不小于1的正整数。


    定理证明（二）

    我们已经知道，倘若第一列中的数‘N=6n-5’（n>1）是合数，那么，该数一定是除‘1’之外的第一列数或第五列数中的数相乘（包括自乘）而得。

    一、当第一列中的合数‘N=6n-5’两因数分别为第一列中的数6a-5和6b-5时，(6a-5)(6b-5)=6n-5。a、b均属于大于1的正整数。

    设a=t+1   b=m+1，那么，6a-5=6(t+1)-5=6t+1     6b-5=6(m+1)-5=6m+1
    因a、b均属于大于1的正整数，那么，m、t均属于不小于1的正整数。
    由(6a-5)(6b-5)=6n-5   可知，n=6ab-5a-5b+5。
    把a=t+1   b=m+1代入n=6ab-5a-5b+5     
    可得，n=6(t+1)(m+1)-5(t+1)-5(m+1)+6=6mt+m+t+1

    也就是说，倘若第一列中的自然数‘N=6n-5’（n>1）满足n=6mt+m+t+1时，m、t均属于正整数，该数一定是合数，其两因数分别为6m+1和6t+1。

    因n=6mt+m+t+1，即，6mt+m+t+1-n=0。
    当t=m时，6mm+2m+1-n=0。   
    m的正整数解为（6n-5的平方根-1）/6， 即，(N的平方根-1)/6。
    故，m的实用闭区间为[1、(N的平方根-1)/6], 即，n值已知，n=6mt+m+t+1时，该区间内必存在确定的实用数m值，t值有正整数解。

    倘若自然数‘N=6n-5’的因数‘6b-5’能够被5或7整除，那么，该合数一定能够被5或7整除，倘若该数是不能被5或7整除的数，必须排除这种情况。

    因第一列数中，能够被5或7整除的数的行数分别为5k和7k-5，那么，b值必须排除5k或7k-5。
    因b=m+1， 当b=5k时，m+1=5k  m=5k-1；当b=7k-1时，m+1=7k-1  m=7k-6
    故，m值不等于5k-1和7k-6。因此，m的不等值为4、9、14、19···5k-6、5k-1；1、8、15、22···7k-13、7k-6。k属于正整数。

    二、第一列中的合数‘N=6n-5’两因数分别为第五列中的数6a-1和6b-1时，(6a-1)(6b-1)=6n-5。a、b均属于不小于1的正整数。

    由(6a-1)(6b-1)=6n-5   可知，n=6ab-a-b+1。
    设a=t  b=m，那么，n=6mt-m-t+1

    也就是说，倘若第一列中的自然数‘N=6n-5’（n>1）满足n=6mt-m-t+1时，m、t均属于正整数，该数一定是合数，其两因数分别为6m-1和6t-1。

    因n=6mt-m-t+1，那么，6mt-m-t+1-n=0。
    当t=m时，6mm-2m+1-n=0。   
    m的正整数解为（6n-5的平方根+1）/6， 即，(N的平方根+1)/6。
    故，m的实用区间为[1、(N的平方根+1)/6], 即，n值已知，n=6mt-m-t+1时，该区间内必存在确定的实用数m值，t值有正整数解。

    倘若自然数‘N=6n-5’的因数能够被5或7整除，那么，该合数一定能够被5或7整除，倘若该数是不能被5或7整除的数,需要排除这种情况。

    第五列数中，能够被5或7整除的数的行数分别为5k-4和7k-1，那么，b值必须排除5k-4或7k-1。
    因m=b， b=5k-4时，m=5k-4 ； b=7k-1时， m=7k-1。
    故，m的不等值为1、6、11、16···5k-9、5k-4；6、13、20、27···7k-13、7k-1。k属于正整数。

    三、我们已经知道，倘若第五列中的数‘N=6n-1’（n>0）是合数，那么，该数一定是除‘1’之外的第一列数与第五列数中的数相乘而得。

    当第五列中的合数‘N=6n-1’两因数分别为第一列中的数6a-5和第五列中的数6b-1时，(6a-5)(6b-1)=6n-1。a属于大于1的正整数，b属于不小于1的正整数。

    设a=t+1   b=m，那么，6a-5=6(t+1)-5=6t+1   6b-1=6m-1
    因a属于大于1的正整数，那么，t属于不小于1的正整数。
    由(6a-5)(6b-1)=6n-1   可知，n=6ab-a-5b+1。
    那么，n=6m(t+1)-(t+1)-5m+1=6mt+m-t。

    也就是说，倘若第五列中的自然数‘N=6n-5’（n>0）满足n=6mt+m-t时，m、t属于正整数，该数一定是合数，其两因数分别为6m-1和6t+1。

    因n=6mt+m-t，那么，6mt+m-t-n=0。
    t=m时，6mm-n=0；m=t时，6tt-n=0。 m、t的正整数解均为n/6的平方根。
    故，t、m的实用闭区间为[1、n/6的平方根]，即，n值已知，n=6mt+m-t时，该区间内必存在确定的实用数m或t值，t或m值有正整数解。

    倘若自然数‘N=6n-1’的因数能够被5或7整除，那么，该合数一定能够被5或7整除，倘若该数是不能被5或7整除的数，必须排除这种情况。

    因数‘6t+1’属于第一列数，因此，t的不等值为4、9、14、19···5k-6、5k-1；  1、8、15、22···7k-13、7k-6。
    因数‘6m-1’属于第五列数，故，m的不等值为1、6、11、16···5k-9、5k-4；  6、13、20、27···7k-13、7k-1。k属于正整数。

    综上，我们可以得出以上定理中的结论。

   
    定理应用一：自然数质合性的判断

    例一：N=457  判断其质合性。
    N=457=6x77-5   n=77
    很显然，‘457’尾数不为0或5，不能被5整除。
    n=77=7k-5   k=82/7   k值不是正整数，故，该数亦不能被7整除。
    n=6mt+m+t+1时，77=6mt+m+t+1，m属于[1、（457的平方根-1）/6]，即m的实用区间为[1、3]，区间内的不等值为1，故，m的实用数是除1之外的2、3。
    当m=2时，77=6x2t+2+t+1  t=74/13  
    当m=3时，77=6x3t+3+t+1  t=73/19  均非正整数解。
    n=6mt-m-t+1时，77=6mt-m-t+1, m属于[1、（457的平方根+1）/6], 即m的实用区间为[1、3]，区间内的不等值为1，故，m的实用数是除1之外的2、3。
    当m=2时，77=6x2t-2-t+1  t=78/11
    当m=3时，77=6x3t-3-t+1  t=79/17  均非正整数解。
    综上，两种条件下，t值均无正整数解，故，自然数457是素数，即质数。

   
    例二：N=473   判断其质合性。
    N=473=6x79-1   n=79
    79=7k-1   k=80/7   k值不是正整数。
    很显然，该数是不能被5或7整除的自然数。
    根据n=6mt+m-t  
    m、t属于[1、n/6的平方根]，即m、t属于[1、79/6的平方根]  
    因3<79/6的平方根<4   故，m、t的实用区间为[1、3]，除去实用区间内m、t的不等值1，m、t的实用数均为2和3。
    当m=2时，79=6x2t+2-t    t=77/11=7
    当m=3时，79=6x3t+3-t    t=76/17
    当t=2时，79=6x2m+m-2    m=81/13
    当t=3时，79=6x3m+m-3    m=82/19
    因m=2时，t有正整数解7，故，自然数437是合数。其两因数分别为：
    6m-1=6x2-1=11    6t+1=6x7+1=43   即11x43=473

    例三：N=391   判断其质合性。
    N=391=6x66-5   n=66
    66=7k-5    k=71/7   k不属于正整数
    很显然，该数是不能被5或7整除的第一列数。
    n=6mt+m+t+1时，66=6mt+m+t+1。
    m属于[1、（391的平方根-1）/6]，即m的实用区间为[1、3]，区间内的不等值为1，故，m的实用数是2、3。
    当m=2时，66=6x2t+2+t+1  t=63/13  
    当m=3时，66=6x3t+3+t+1  t=62/19  均非正整数解。
    n=6mt-m-t+1时，66=6mt-m-t+1。
    m属于[1、（391的平方根+1）/6], 即m的实用区间为[1、3]，区间内的不等值为1，故，m的实用数是2、3。
    当m=2时，66=6x2t-2-t+1  t=67/11   非正整数解
    当m=3时，66=6x3t-3-t+1  t=68/17=4  
    m=3时，t值有正整数解4，故，自然数391是合数，其因数分别为：
    6m-1=6x3-1=17    6t-1=6x4-1=23    即17x23=391
   
    例四：N=467   判断其质合性。
    N=467=6x78-1   n=78
    78=7k-1    k=79/7   k不属于正整数
    很显然，该数是不能被5或7整除的第五列数。
    根据n=6mt+m-t  
    m、t属于[1、n/6的平方根]，即m、t属于[1、78/6的平方根]  
    因3<78/6的平方根<4   故，m、t的实用区间为[1、3]，除去实用区间内m、t的不等值1，m、t的实用数均为2和3。
    当m=2时，78=6x2t+2-t    t=76/11
    当m=3时，78=6x3t+3-t    t=75/17
    当t=2时，78=6x2m+m-2    m=80/13
    当t=3时，78=6x3m+m-3    m=81/19
    m、t均无正整数解，故，自然数467是素数，即质数。

   
    定理应用二：求解自然数的质因数

    例一：N=418    求其质因数。
    418/2=209   209=6x35-1   n=35
    n=7k-1=35   k=36/7   非正整数。
    可见，‘209’是不能被5或7整除的第五列数。
    把n=35代入n=6mt+m-t   35=6mt+m-t
    m、t的实用区间为[1、n/6的平方根]   即[1、35/6的平方根]
    除去m、t的不等值1，m、t的实用数为2。
    当m=2时，  35=6x2t+2-t    t=33/11=3    正整数解。
    当t=2时，  35=6x2m+m-2    m=37/13   
    因m=2时，t有正整数解3，故，‘209’的两因数分别为：
    6m-1=6x2-1=11    6t+1=6x3+1=19   即11x19=209
    418=2x11x19    故，自然数418的质因数有2、11、19，三数。

    例二：求自然数902的质因数
    902/2=451   N=451=6x75+1=6x76-5   n=76
    n=7k-5=76   k=81/7  非正整数。
    很显然，‘451’是不能被5或7整除的第一列数。
    把n=76代入n=6mt+m+t+1   76=6mt+m+t+1
    m的实用区间[1、（N的平方根-1）/6]，即[1、（451的平方根-1）/6]
    除去区间内m的不等值1，m的实用数为2、3。
    m=2时，76=6x2t+2+t+1    t=73/13
    m=3时，76=6x3t+3+t+1    t=72/19    均非正整数。
    把n=76代入n=6mt-m-t+1   76=6mt-m-t+1
    m的实用区间[1、（N的平方根+1）/6],即[1、（451的平方根+1）/6]
    除去m的实用区间内的不等值1，m的实用数为2、3。
    m=2时，76=6x2t-2-t+1    t=77/11=7     正整数解。
    m=3时，76=6x3t-3-t+1    t=78/17   
    因m=2时，t有正整数解7，‘451’的两因数分别为：
    6m-1=6x2-1=11    6t-1=6x7-1=41    即11x41=451
    902=2x11x41    故，自然数902的质因数有2、11、41，三数。
   
    例三：求自然数4187的质因数
    4187=6x697+5=6x698-1   n=698
    能被7整除的第五列数满足的条件是：n=7k-1
    698=7k-1    k=699/7    非正整数
    可见，该数是不能被5或7整除的第五列数。
    把n=698代入n=6mt+m-t   m、t属于[1、n/6的平方根]
    10<698/6的平方根<11    故，m、t的实用区间为[1、10]
    除去m的不等值1、6，   m的实用数：2、3、4、5、7、8、9、10。
    除去t的不等值1、4、8、9，   t的实用数：2、3、5、6、7、10。
    当m=2时，698=6x2t+2-t    t=696/11
    当m=3时，698=6x3t+3-t    t=695/17
    ······
    当m=9时，698=6x9t+9-t    t=689/53=13    正整数解，其它略。
    6m-1=6x9-1=53      6t+1=6x13+1=79       即53x79=4187   
    故，自然数4187的质因数有53、79，两数。
   
    例四：求自然数12570的质因数
    经简单分解：12570=2x3x5x4189
    N=4189=6x698+1=6x699-5    n=699
    n=699=7k-5    k=704/7    非正整数
    显然，‘4189’是不能被5或7整除的第一列数。
    把n=699代入n=6mt+m+t+1    699=6mt+m+t+1   
    m实用区间[1、（4189的平方根-1）/6]   即[1、10]
    除去m的不等值1、4、8、9，  m的实用数分别为2、3、5、6、7、10。
    当m=2时，699=6x2t+2+t+1    t=696/13
    当m=3时，699=6x3t+3+t+1    t=695/19
    ······
    当m=10时，699=6x10t+10+t+1    t=688/61    均非正整数解。

    把n=699代入n=6mt-m-t+1    699=6mt-m-t+1   
    m实用区间[1、（4189的平方根+1）/6]   即[1、10]
    除去m的不等值1、6，  m的实用数分别为2、3、4、5、7、8、9、10。
    当m=2时，699=6x2t-2-t+1    t=700/11
    当m=3时，699=6x3t-3-t+1    t=701/17            
    ······
    当m=10时，699=6x10t-10-t+1    t=708/59=12    正整数解。
    6m-1=6x10-1=59     6t-1=6x12-1=71     即59x71=4189      
    那么，12570=2x3x5x4189=2x3x5x59x71   
    故，自然数12570的质因数有2、3、5、59、71，五数。

   
    定理应用三：求一组自然数的最大公约数与最小公倍数

    例一：求自然数722和874两数的最大公约数与最小公倍数。

    1、求自然数722的质因数
    722=2x361      N=361=6x60+1=6x61-5    n=61
    n=7k-5=61      k=66/7    非正整数
    可知，‘361’是不能被5或7整除的第一列数。
    把n=61代入n=6mt+m+t+1    61=6mt+m+t+1
    m属于实用区间[1、（N的平方根-1）/6]   
   （N的平方根-1）/6=（361的平方根-1）/6=c    可知， 3<c<4
    故，m的实用区间[1、3]    除去不等值1，m的实用数为2、3。
    m=2时，61=6x2t+2+t+1    t=58/13
    m=3时，61=6x3t+3+t+1    t=57/19=3    正整数解
    6m+1=6x3+1=19     6t+1=6x3+1=19      即19x19=361
    那么，722=2x361=2x19x19     故，‘722’的质因数为2和19两数。

    2、求自然数874的质因数
    874=2x437      N=437=6x72+5=6x73-1    n=73
    n=7k-1=73      k=74/7    非正整数
    可知，‘473’是不能被5或7整除的第五列数。
    把n=73代入n=6mt+m-t    73=6mt+m-t
    m、t均属于实用区间[1、n/6的平方根]   
    n/6的平方根=73/6的平方根=d      可知，3<d<4
    故，m的实用区间[1、3]    除去不等值1，m、t的实用数均为2、3。
    当m=2时，  73=6x2t+2-t     t=71/11
    当m=3时，  73=6x3t+3-t     t=70/17
    当t=2时，  73=6x2m+m-2     m=75/13
    当t=3时，  73=6x3m+m-3     m=76/19=4    正整数解
    6m-1=6x4-1=23      6t+1=6x3+1=19      即23x19=437
    那么，874=2x437=2x19x23   故，‘874’的质因数为2、19和23，三数。
    综上可知，722和874的同约数为2x19,故，其最大公约数为38；最小公倍数为2x19x19x23,即16606。


    例二：求自然数3887和4199两数的最大公约数与最小公倍数。

    1、求自然数3887的质因数
    3887=6x647+5=6x648-1      n=648
    n=7k-1=648     k=649/7    非正整数
    可知，‘3887’是不能被5或7整除的第五列数。
    把n=648代入n=6mt+m-t    648=6mt+m-t
    m、t均属于实用区间[1、n/6的平方根]   
    n/6的平方根=648/6的平方根=c      可知，10<c<11
    故，m、t的实用区间[1、10]   除去m的不等值1、6，m的实用数为2、3、4、5、7、8、9、10；除去t的不等值1、4、8、9，t的实用数为2、3、5、6、7、10。
    当m=4时，  648=6x4t+4-t     t=644/23=28    正整数解，其它略。
    6m-1=6x4-1=23      6t+1=6x28+1=169     即23x169=3887
    当t=2时，  648=6x2m+m-2     m=650/13=50    正整数解，其它略。
    6m-1=6x50-1=299      6t+1=6x2+1=13     即299x13=3887
    由3887=23x169=299x13  可知，3887=13x23x13。     
    故，‘3887’的质因数是13和23，两数。

    2、求自然数4199的质因数
    4199=6x699+5=6x700-1      n=700
    n=7k-1=700     k=701/7    非正整数
    可知，‘4199’是不能被5或7整除的第五列数。
    把n=700代入n=6mt+m-t    700=6mt+m-t
    m、t均属于实用区间[1、n/6的平方根]   
    n/6的平方根=700/6的平方根=d      可知，10<d<11
    故，m、t的实用区间[1、10]   除去m的不等值1、6，m的实用数为2、3、4、5、7、8、9、10；除去t的不等值1、4、8、9，t的实用数为2、3、5、6、7、10。
    当m=3时， 700=6x3t+3-t     t=697/17=41    正整数解，其它略。
    6m-1=6x3-1=17      6t+1=6x41+1=247     即17x247=4199
    当t=2时， 700=6x2m+m-2     m=702/13=54    正整数解
    6m-1=6x54-1=323      6t+1=6x2+1=13     即323x13=4199
    当t=3时， 700=6x3m+m-3     m=703/19=37     正整数解,其它略。
    6m-1=6x37-1=221    6t+1=6x3+1=19     即221x19=4199
    由4199=13x323=17x247=19x221  可知，4199=13x17x19。
    故，‘4199’的质因数是13、17和19，三数。
    综上，3887与4199的同约数为13，故，其最大公约数为13；最小公倍数为13x13x23x17x19=1255501。