苏小草：数论之解密素数
本帖最后由 苏小草sxc 于 2017-6-25 20:40 编辑苏小草：数论之解密素数
按：这里不只是能提供一种寻找和判定素数的简易途径和方法，还能给出任意大的合数分解成素数积的简易途径和方法。
根据自然数的‘五行六爻属性’，我们可以把不小于1的自然数分成六列数，即阳奇阳性数列{6n-5}、阴偶中性数列{6n-4}、阳奇阴性数列{6n-3}、阴偶阳性数列{6n-2}、阳奇中性数列{6n-1}、阴偶阴性数列{6n}，共六列数。n是不小于1的自然数。
例：6n-5 6n-4 6n-3 6n-2 6n-1 6n
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
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我们可以发现，第二列数均可被2整除，除‘2’之外，均为合数；第三列数均可被3整除，除‘3’之外，均为合数；第四列、第六列数均为合数，不存在素数。那么，除第二列数的‘2’和第三列数的‘3’，其它素数均存在于第一、五列数之中。也就是说，除去第一列数的‘1’不是素数外，我们把第一、五列数中的合数剔除，剩余的自然数均为素数。下面我们对第一列数与第五列数进行分析：
1、设第一列数‘6n-5’（n>1）是合数，那么，该数一定是除‘1’之外的第一列数或第五列数中的数相乘（包括自乘）而得。
设第一列中的两数分别为6a-5或6b-5， a、b均属于大于1的正整数。 那么，(6a-5)(6b-5)=6-5。 ‘6ab-5（a+b）+5’属于正整数，故，(6a-5)(6b-5)=6n-5，属于第一列数。
设第五列中的两数分别为6a-1或6b-1， a、b均属于不小于1的正整数。那么，（6a-1)(6b-1)=6-5。 ‘6ab-（5b+a）+1’属于正整数，故，（6a-1)(6b-1)=6n-5，属于第一列数。
2、设第五列中数‘6n-1’(n>0)是合数，那么，该数一定是除‘1’以外的第一列数与第五列数中的数相乘而得。
设第一列与第五列中的两数分别为6a-5和6b-1， a>1、b>0，a、b均属于正整数。那么，(6a-5)(6a-1)=6-1。 ‘6ab-（5b+a）+1’属于正整数，故，(6a-5)(6a-1)=6n-1，属于第五列数。
反向推理同样如此，不作赘述。即在N行六列自然数（大于0）的数阵中，除第二列的‘2’、第三列的‘3’之外，其它素数均存在于第一列与第五列数之中，除去第一列数的‘1’，第一列数或第五列数相乘（包括自乘），得第一列数中的合数；第一列数与第五列数的乘积，得第五列数中的合数。也就是说，除去第一列与第五列中的上述合数及第一列中的首数‘1’，第一列与第五列中的其它数均为素数。
经过缜密的逻辑推理，我们可以得出以下定理：
1、除素数2、3之外，其它素数均居于自‘1’始的N行六列数阵的第一列数{6n-5}与第五列数{6n-1}之中。n是不小于1的正整数。
2、自‘1’始的N行六列自然数阵中，第一列数{6n-5}里，能被5整除的数n=5k ；能被7整除的数n=7k-5 。第五列数{6n-1}里，能被5整的数n=5k-4；能被7整除的数n=7k-1。k属于不小于1的正整数。
3、对于不能5或7整除的第一、五列数中的数，其质、合性的判定方法如下：
一、对于不能被5或7整除的第一列数中的自然数‘N=6n-5’而言，其为素数的充要条件有两个:A和B，即必须满足A和B同时成立。
A:函数n=6mt+m+t+1在m属于正整数的实用闭区间内，除去m的不等值后，t值无正整数解。
附：函数n=6mt+m+t+1，m的不等值如下（k>0、属于正整数）：
m不等于4、9、14、19、24、29、34、39······5k-6、5k-1；
m不等于1、8、15、22、29、36、43、50······7k-13、7k-6。
B:函数n=6mt-m-t+1在m属于正整数的实用闭区间内，除去m的不等值后，t值无正整数解。
附：函数n=6mt-m-t+1，m的不等值如下：
m不等于1、6、11、16、21、26、31、36······5k-9、5k-4；
m不等于6、13、20、27、34、41、48、55······7k-13、7k-1。
二、对于不能被5或7整除的第一列数中的自然数‘N=6n-5’而言，其为合数的充要条件有一个：A或B，即满足其一则成立。
A:函数n=6mt+m+t+1在m属于正整数的实用闭区间内，除去m的不等值（见上）后，t值有正整数解。其因数分别为‘6m+1’和‘6t+1’。
B:函数n=6m-m-t+1在m属于正整数的实用闭区间内，除去m的不等值(见上)后，t值有正整数解。其因数分别为‘6m-1’和‘6t-1’。
三、对于不能被5或7整除的第五列数中的自然数‘N=6n-1’而言，其为素数的充要条件有两个：A和B，即必须满足A和B同时成立。
A:函数n=6mt+m-t在m属于正整数的实用闭区间内，除去m的不等值后，t值无正整数解。
附：函数n=6mt+m-t，m的不等值如下：
m不等于1、6、11、16、21、26、31、36······5k-9、5k-4；
m不等于6、13、20、27、34、41、48、55······7k-13、7k-1。
B:函数n=6mt+m-t在t属于正整数的实用闭区间内，除去t的不等值后，m值无正整数解。
附：函数n=6mt+m-t，t的不等值如下：
t不等于4、9、14、19、24、29、34、39······5k-6、5k-1；
t不等于1、8、15、22、29、36、43、50······7k-13、7k-6。
四、对于不能被5或7整除的第五列数中的自然数‘N=6n-1’而言，其为合数的充要条件有一个：A或B，即满足其一则成立。
A:函数n=6mt+m-t在m属于正整数的实用闭区间内，除去m的不等值（见上）后，t值有正整数解。其因数分别为‘6m-1’和‘6t+1’。
B:函数n=6mt+m-t在t属于正整数的实用闭区间内，除去t的不等值后，m值有正整数解。其因数分别为‘6m-1’和‘6t+1’。
事实上，寻找素数的方法非常简单，利用上述自然数的N行六列数阵，除第二列的素数‘2’、第三列的素数‘3’，其它素数均在除‘1’之外的第一列数与五列数全排列（包括自乘）的积数之外的第一、五列数之中。
定理证明（一）
1、除素数2、3之外，其它素数均居于自‘1’始的N行六列数阵的第一列数{6n-5}与第五列数{6n-1}之中。n是不小于1的自然数。
2、自‘1’始的N行六列自然数阵中，第一列数{6n-5}里，能被5整除的数n=5k ；能被7整除的数n=7k-5 。第五列数{6n-1}里，能被5整除的数n=5k-4；能被7整除的数n=7k-1。k属于不小于1的正整数。
根据自然数的‘五行六爻属性’，我们把不小于1的自然数分成六列数。如下：
行 第一列数 第二列数 第三列数 第四列数 第五列数 第六列数
阳奇阳性 阴偶中性 阳奇阴性 阴偶阳性 阳奇中性 阴偶阴性
1 1 2 3 4 5 6
2 7 8 9 10 11 12
3 13 14 15 16 17 18
4 19 20 21 22 23 24
5 25 26 27 28 29 30
6 31 32 33 34 35 36
7 37 38 39 40 41 42
8 43 44 45 46 47 48
9 49 50 51 52 53 54
10 55 56 57 58 59 60
11 61 62 63 64 65 66
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· · · · · · ·
n 6n-5 6n-4 6n-3 6n-2 6n-1 6n
对于第二列的自然数集{6n-4}而言，6n-4/2=3n-2，正整数。故，该列中的数均可被2整除，除素数‘2’之外，均为合数。
对于第三列的自然数集{6n-3}而言，6n-3/3=2n-1，正整数。故，该列中的数均可被3整除，除素数‘3’之外，均为合数。
对于第四列的自然数集{6n-2}而言，6n-2/2=3n-1，正整数。故，该列中的数均可被2整除，均为合数，不存在素数。
对于第六列的自然数集{6n}而言，6n=2x3n，显然，该列中的数均为合数，不存在素数。
因此，除素数2、3之外，其它素数均居于自‘1’始的N行六列数阵的第一列数{6n-5}与第五列数{6n-1}之中。n是不小于1的正整数。
我们对第一、五列数中能被5或7整除的数的行数‘n’进行分析：
第一列数中，第一个能被5整除的数是‘25’，行数为5；第二个能被5整除的数是‘55’，行数为10；······第n个能被5整除的数是‘6x5k-5’，k属于正整数。因此，第一列自然数集{6n-5}中，能被5整除的数，其行数n=5k。
第一列数中，第一个能被7整除的数是‘2’，行数为2；第二个能被7整除的数是‘49’，行数为9；······第n个能被7整除的数是‘6(7k-5)-5’，k属于正整数。因此，第一列自然数集{6n-5}中，能被7整除的数，其行数n=7k-5。
第五列数中，第一个能被5整除的数是‘5’，行数为1；第二个能被5整除的数是‘35’，行数为6；······第n个能被5整除的数是‘6(5k-4)-1’，k属于正整数。因此，第五列自然数集{6n-1}中，能被5整除的数，其行数n=5k-4。
第五列数中，第一个能被7整除的数是‘35’，行数为6；第二个能被7整除的数是‘77’，行数为13；······第n个能被7整除的数是‘6(7k-1)-1’，k属于正整数。因此，第五列自然数集{6n-5}中，能被7整除的数，其行数n=7k-1。
故，自‘1’始的N行六列自然数阵中，第一列数‘6n-5’里，能被5整除的数n=5k ；能被7整除的数n=7k-5 。第五列数‘6n-1'里，能被5整的数n=5k-4；能被7整除的数n=7k-1。k均属于不小于1的正整数。
定理证明（二）
我们已经知道，倘若第一列中的数‘N=6n-5’（n>1）是合数，那么，该数一定是除‘1’之外的第一列数或第五列数中的数相乘（包括自乘）而得。
一、当第一列中的合数‘N=6n-5’两因数分别为第一列中的数6a-5和6b-5时，(6a-5)(6b-5)=6n-5。a、b均属于大于1的正整数。
设a=t+1 b=m+1，那么，6a-5=6(t+1)-5=6t+1 6b-5=6(m+1)-5=6m+1
因a、b均属于大于1的正整数，那么，m、t均属于不小于1的正整数。
由(6a-5)(6b-5)=6n-5 可知，n=6ab-5a-5b+5。
把a=t+1 b=m+1代入n=6ab-5a-5b+5
可得，n=6(t+1)(m+1)-5(t+1)-5(m+1)+6=6mt+m+t+1
也就是说，倘若第一列中的自然数‘N=6n-5’（n>1）满足n=6mt+m+t+1时，m、t均属于正整数，该数一定是合数，其两因数分别为6m+1和6t+1。
因n=6mt+m+t+1，即，6mt+m+t+1-n=0。
当t=m时，6mm+2m+1-n=0。
m的正整数解为（6n-5的平方根-1）/6， 即，(N的平方根-1)/6。
故，m的实用闭区间为, 即，n值已知，n=6mt+m+t+1时，该区间内必存在确定的实用数m值，t值有正整数解。
倘若自然数‘N=6n-5’的因数‘6b-5’能够被5或7整除，那么，该合数一定能够被5或7整除，倘若该数是不能被5或7整除的数，必须排除这种情况。
因第一列数中，能够被5或7整除的数的行数分别为5k和7k-5，那么，b值必须排除5k或7k-5。
因b=m+1， 当b=5k时，m+1=5km=5k-1；当b=7k-1时，m+1=7k-1m=7k-6
故，m值不等于5k-1和7k-6。因此，m的不等值为4、9、14、19···5k-6、5k-1；1、8、15、22···7k-13、7k-6。k属于正整数。
二、第一列中的合数‘N=6n-5’两因数分别为第五列中的数6a-1和6b-1时，(6a-1)(6b-1)=6n-5。a、b均属于不小于1的正整数。
由(6a-1)(6b-1)=6n-5 可知，n=6ab-a-b+1。
设a=tb=m，那么，n=6mt-m-t+1
也就是说，倘若第一列中的自然数‘N=6n-5’（n>1）满足n=6mt-m-t+1时，m、t均属于正整数，该数一定是合数，其两因数分别为6m-1和6t-1。
因n=6mt-m-t+1，那么，6mt-m-t+1-n=0。
当t=m时，6mm-2m+1-n=0。
m的正整数解为（6n-5的平方根+1）/6， 即，(N的平方根+1)/6。
故，m的实用区间为, 即，n值已知，n=6mt-m-t+1时，该区间内必存在确定的实用数m值，t值有正整数解。
倘若自然数‘N=6n-5’的因数能够被5或7整除，那么，该合数一定能够被5或7整除，倘若该数是不能被5或7整除的数,需要排除这种情况。
第五列数中，能够被5或7整除的数的行数分别为5k-4和7k-1，那么，b值必须排除5k-4或7k-1。
因m=b， b=5k-4时，m=5k-4 ； b=7k-1时， m=7k-1。
故，m的不等值为1、6、11、16···5k-9、5k-4；6、13、20、27···7k-13、7k-1。k属于正整数。
三、我们已经知道，倘若第五列中的数‘N=6n-1’（n>0）是合数，那么，该数一定是除‘1’之外的第一列数与第五列数中的数相乘而得。
当第五列中的合数‘N=6n-1’两因数分别为第一列中的数6a-5和第五列中的数6b-1时，(6a-5)(6b-1)=6n-1。a属于大于1的正整数，b属于不小于1的正整数。
设a=t+1 b=m，那么，6a-5=6(t+1)-5=6t+1 6b-1=6m-1
因a属于大于1的正整数，那么，t属于不小于1的正整数。
由(6a-5)(6b-1)=6n-1 可知，n=6ab-a-5b+1。
那么，n=6m(t+1)-(t+1)-5m+1=6mt+m-t。
也就是说，倘若第五列中的自然数‘N=6n-5’（n>0）满足n=6mt+m-t时，m、t属于正整数，该数一定是合数，其两因数分别为6m-1和6t+1。
因n=6mt+m-t，那么，6mt+m-t-n=0。
t=m时，6mm-n=0；m=t时，6tt-n=0。 m、t的正整数解均为n/6的平方根。
故，t、m的实用闭区间为，即，n值已知，n=6mt+m-t时，该区间内必存在确定的实用数m或t值，t或m值有正整数解。
倘若自然数‘N=6n-1’的因数能够被5或7整除，那么，该合数一定能够被5或7整除，倘若该数是不能被5或7整除的数，必须排除这种情况。
因数‘6t+1’属于第一列数，因此，t的不等值为4、9、14、19···5k-6、5k-1；1、8、15、22···7k-13、7k-6。
因数‘6m-1’属于第五列数，故，m的不等值为1、6、11、16···5k-9、5k-4；6、13、20、27···7k-13、7k-1。k属于正整数。
综上，我们可以得出以上定理中的结论。
定理应用一：自然数质合性的判断
例一：N=457判断其质合性。
N=457=6x77-5 n=77
很显然，‘457’尾数不为0或5，不能被5整除。
n=77=7k-5 k=82/7 k值不是正整数，故，该数亦不能被7整除。
n=6mt+m+t+1时，77=6mt+m+t+1，m属于，即m的实用区间为，区间内的不等值为1，故，m的实用数是除1之外的2、3。
当m=2时，77=6x2t+2+t+1t=74/13
当m=3时，77=6x3t+3+t+1t=73/19均非正整数解。
n=6mt-m-t+1时，77=6mt-m-t+1, m属于, 即m的实用区间为，区间内的不等值为1，故，m的实用数是除1之外的2、3。
当m=2时，77=6x2t-2-t+1t=78/11
当m=3时，77=6x3t-3-t+1t=79/17均非正整数解。
综上，两种条件下，t值均无正整数解，故，自然数457是素数，即质数。
例二：N=473 判断其质合性。
N=473=6x79-1 n=79
79=7k-1 k=80/7 k值不是正整数。
很显然，该数是不能被5或7整除的自然数。
根据n=6mt+m-t
m、t属于，即m、t属于
因3<79/6的平方根<4 故，m、t的实用区间为，除去实用区间内m、t的不等值1，m、t的实用数均为2和3。
当m=2时，79=6x2t+2-t t=77/11=7
当m=3时，79=6x3t+3-t t=76/17
当t=2时，79=6x2m+m-2 m=81/13
当t=3时，79=6x3m+m-3 m=82/19
因m=2时，t有正整数解7，故，自然数437是合数。其两因数分别为：
6m-1=6x2-1=11 6t+1=6x7+1=43 即11x43=473
例三：N=391 判断其质合性。
N=391=6x66-5 n=66
66=7k-5 k=71/7 k不属于正整数
很显然，该数是不能被5或7整除的第一列数。
n=6mt+m+t+1时，66=6mt+m+t+1。
m属于，即m的实用区间为，区间内的不等值为1，故，m的实用数是2、3。
当m=2时，66=6x2t+2+t+1t=63/13
当m=3时，66=6x3t+3+t+1t=62/19均非正整数解。
n=6mt-m-t+1时，66=6mt-m-t+1。
m属于, 即m的实用区间为，区间内的不等值为1，故，m的实用数是2、3。
当m=2时，66=6x2t-2-t+1t=67/11 非正整数解
当m=3时，66=6x3t-3-t+1t=68/17=4
m=3时，t值有正整数解4，故，自然数391是合数，其因数分别为：
6m-1=6x3-1=17 6t-1=6x4-1=23 即17x23=391
例四：N=467 判断其质合性。
N=467=6x78-1 n=78
78=7k-1 k=79/7 k不属于正整数
很显然，该数是不能被5或7整除的第五列数。
根据n=6mt+m-t
m、t属于，即m、t属于
因3<78/6的平方根<4 故，m、t的实用区间为，除去实用区间内m、t的不等值1，m、t的实用数均为2和3。
当m=2时，78=6x2t+2-t t=76/11
当m=3时，78=6x3t+3-t t=75/17
当t=2时，78=6x2m+m-2 m=80/13
当t=3时，78=6x3m+m-3 m=81/19
m、t均无正整数解，故，自然数467是素数，即质数。
定理应用二：求解自然数的质因数
例一：N=418 求其质因数。
418/2=209 209=6x35-1 n=35
n=7k-1=35 k=36/7 非正整数。
可见，‘209’是不能被5或7整除的第五列数。
把n=35代入n=6mt+m-t 35=6mt+m-t
m、t的实用区间为 即
除去m、t的不等值1，m、t的实用数为2。
当m=2时，35=6x2t+2-t t=33/11=3 正整数解。
当t=2时，35=6x2m+m-2 m=37/13
因m=2时，t有正整数解3，故，‘209’的两因数分别为：
6m-1=6x2-1=11 6t+1=6x3+1=19 即11x19=209
418=2x11x19 故，自然数418的质因数有2、11、19，三数。
例二：求自然数902的质因数
902/2=451 N=451=6x75+1=6x76-5 n=76
n=7k-5=76 k=81/7非正整数。
很显然，‘451’是不能被5或7整除的第一列数。
把n=76代入n=6mt+m+t+1 76=6mt+m+t+1
m的实用区间，即
除去区间内m的不等值1，m的实用数为2、3。
m=2时，76=6x2t+2+t+1 t=73/13
m=3时，76=6x3t+3+t+1 t=72/19 均非正整数。
把n=76代入n=6mt-m-t+1 76=6mt-m-t+1
m的实用区间,即
除去m的实用区间内的不等值1，m的实用数为2、3。
m=2时，76=6x2t-2-t+1 t=77/11=7 正整数解。
m=3时，76=6x3t-3-t+1 t=78/17
因m=2时，t有正整数解7，‘451’的两因数分别为：
6m-1=6x2-1=11 6t-1=6x7-1=41 即11x41=451
902=2x11x41 故，自然数902的质因数有2、11、41，三数。
例三：求自然数4187的质因数
4187=6x697+5=6x698-1 n=698
能被7整除的第五列数满足的条件是：n=7k-1
698=7k-1 k=699/7 非正整数
可见，该数是不能被5或7整除的第五列数。
把n=698代入n=6mt+m-t m、t属于
10<698/6的平方根<11 故，m、t的实用区间为
除去m的不等值1、6， m的实用数：2、3、4、5、7、8、9、10。
除去t的不等值1、4、8、9， t的实用数：2、3、5、6、7、10。
当m=2时，698=6x2t+2-t t=696/11
当m=3时，698=6x3t+3-t t=695/17
······
当m=9时，698=6x9t+9-t t=689/53=13 正整数解，其它略。
6m-1=6x9-1=53 6t+1=6x13+1=79 即53x79=4187
故，自然数4187的质因数有53、79，两数。
例四：求自然数12570的质因数
经简单分解：12570=2x3x5x4189
N=4189=6x698+1=6x699-5 n=699
n=699=7k-5 k=704/7 非正整数
显然，‘4189’是不能被5或7整除的第一列数。
把n=699代入n=6mt+m+t+1 699=6mt+m+t+1
m实用区间 即
除去m的不等值1、4、8、9，m的实用数分别为2、3、5、6、7、10。
当m=2时，699=6x2t+2+t+1 t=696/13
当m=3时，699=6x3t+3+t+1 t=695/19
······
当m=10时，699=6x10t+10+t+1 t=688/61 均非正整数解。
把n=699代入n=6mt-m-t+1 699=6mt-m-t+1
m实用区间 即
除去m的不等值1、6，m的实用数分别为2、3、4、5、7、8、9、10。
当m=2时，699=6x2t-2-t+1 t=700/11
当m=3时，699=6x3t-3-t+1 t=701/17
······
当m=10时，699=6x10t-10-t+1 t=708/59=12 正整数解。
6m-1=6x10-1=59 6t-1=6x12-1=71 即59x71=4189
那么，12570=2x3x5x4189=2x3x5x59x71
故，自然数12570的质因数有2、3、5、59、71，五数。
定理应用三：求一组自然数的最大公约数与最小公倍数
例一：求自然数722和874两数的最大公约数与最小公倍数。
1、求自然数722的质因数
722=2x361 N=361=6x60+1=6x61-5 n=61
n=7k-5=61 k=66/7 非正整数
可知，‘361’是不能被5或7整除的第一列数。
把n=61代入n=6mt+m+t+1 61=6mt+m+t+1
m属于实用区间
（N的平方根-1）/6=（361的平方根-1）/6=c 可知， 3<c<4
故，m的实用区间 除去不等值1，m的实用数为2、3。
m=2时，61=6x2t+2+t+1 t=58/13
m=3时，61=6x3t+3+t+1 t=57/19=3 正整数解
6m+1=6x3+1=19 6t+1=6x3+1=19 即19x19=361
那么，722=2x361=2x19x19 故，‘722’的质因数为2和19两数。
2、求自然数874的质因数
874=2x437 N=437=6x72+5=6x73-1 n=73
n=7k-1=73 k=74/7 非正整数
可知，‘473’是不能被5或7整除的第五列数。
把n=73代入n=6mt+m-t 73=6mt+m-t
m、t均属于实用区间
n/6的平方根=73/6的平方根=d 可知，3<d<4
故，m的实用区间 除去不等值1，m、t的实用数均为2、3。
当m=2时，73=6x2t+2-t t=71/11
当m=3时，73=6x3t+3-t t=70/17
当t=2时，73=6x2m+m-2 m=75/13
当t=3时，73=6x3m+m-3 m=76/19=4 正整数解
6m-1=6x4-1=23 6t+1=6x3+1=19 即23x19=437
那么，874=2x437=2x19x23 故，‘874’的质因数为2、19和23，三数。
综上可知，722和874的同约数为2x19,故，其最大公约数为38；最小公倍数为2x19x19x23,即16606。
例二：求自然数3887和4199两数的最大公约数与最小公倍数。
1、求自然数3887的质因数
3887=6x647+5=6x648-1 n=648
n=7k-1=648 k=649/7 非正整数
可知，‘3887’是不能被5或7整除的第五列数。
把n=648代入n=6mt+m-t 648=6mt+m-t
m、t均属于实用区间
n/6的平方根=648/6的平方根=c 可知，10<c<11
故，m、t的实用区间 除去m的不等值1、6，m的实用数为2、3、4、5、7、8、9、10；除去t的不等值1、4、8、9，t的实用数为2、3、5、6、7、10。
当m=4时，648=6x4t+4-t t=644/23=28 正整数解，其它略。
6m-1=6x4-1=23 6t+1=6x28+1=169 即23x169=3887
当t=2时，648=6x2m+m-2 m=650/13=50 正整数解，其它略。
6m-1=6x50-1=299 6t+1=6x2+1=13 即299x13=3887
由3887=23x169=299x13可知，3887=13x23x13。
故，‘3887’的质因数是13和23，两数。
2、求自然数4199的质因数
4199=6x699+5=6x700-1 n=700
n=7k-1=700 k=701/7 非正整数
可知，‘4199’是不能被5或7整除的第五列数。
把n=700代入n=6mt+m-t 700=6mt+m-t
m、t均属于实用区间
n/6的平方根=700/6的平方根=d 可知，10<d<11
故，m、t的实用区间 除去m的不等值1、6，m的实用数为2、3、4、5、7、8、9、10；除去t的不等值1、4、8、9，t的实用数为2、3、5、6、7、10。
当m=3时， 700=6x3t+3-t t=697/17=41 正整数解，其它略。
6m-1=6x3-1=17 6t+1=6x41+1=247 即17x247=4199
当t=2时， 700=6x2m+m-2 m=702/13=54 正整数解
6m-1=6x54-1=323 6t+1=6x2+1=13 即323x13=4199
当t=3时， 700=6x3m+m-3 m=703/19=37 正整数解,其它略。
6m-1=6x37-1=221 6t+1=6x3+1=19 即221x19=4199
由4199=13x323=17x247=19x221可知，4199=13x17x19。
故，‘4199’的质因数是13、17和19，三数。
综上，3887与4199的同约数为13，故，其最大公约数为13；最小公倍数为13x13x23x17x19=1255501。
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